Exercice de séries 3 : Test de Dirichlet

Étudier la nature de la série
$$\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin n}{n}$$

Test de Dirichlet

Soit $\displaystyle\sum a_n$ une série avec suite des  sommes partielles $\displaystyle\{S_n=\sum_{k=1}^n a_k=a_1+a_2+a_3+\ldots +a_n\}$, si

1. il existe un nombre réel $M$ tel que $\forall n$ $\left|S_n\right|\le M$. C'est-à-dire, toutes les sommes partielles sont bornées.
2. La suite $\{b_n\}$ est décroissante et la $\displaystyle\lim_{n\to\infty}  b_n=0$

La série $\displaystyle\sum a_nb_n$ converges

Pour résoudre notre exercice remarquons que la série donnée,  $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n}{n}$. est un produit, mais pour faciliter les calcules nous allons considérer la série complexe produit

$$\sum a_nb_n=\sum_{n=1}^\infty e^{in}\frac{1}{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos n}{n}+i\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n}{n}$$
Cette série complexe a la même nature que sa partie réelle  $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos n}{n}$ et que sa partie imaginaire $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n}{n}$.
Soient :

$$\sum a_n=\sum_{n=1}^\infty e^{in}$$
$$b_n=1/n$$

Considérons les sommes partielles $S_i$ de la série $\displaystyle\sum a_n=\sum_{n=1}^\infty e^{in}$

$S_1=e^i$
$S_2=e^i+e^{2i}$
$S_3=e^i+e^{2i}+e^{3i}$
 .
 .
 .
$\displaystyle S_n=e^i+e^{2i}+e^{3i}+\ldots+e^{ni}=\sum_{k=1}^ne^{ki}$
 .
 .
 La somme partielle $S_n$ est la somme de n termes d'une série géométrique de raison $r=e^i$ et premier terme $a_1=e^i$,, pourtant

$$S_n=a_1\frac{1-r^n}{1-r}=e^i\frac{1-e^{in}}{1-e^i}$$

En divisant numérateur et dénominateur par $e^{i/2}$
$$S_n=e^{i/2}\frac{1-e^{in}}{e^{-i/2}-e^{i/2}}=e^{i/2}\frac{e^{in/2}\left(e^{in/2}-e^{in/2}\right)}{e^{-i/2}-e^{i/2}}=e^{i(n+1)/2}\frac{e^{in/2}-e^{in/2}}{e^{-i/2}-e^{i/2}}=e^{i(n+1)/2}\frac{-2i\sin {\frac{n}{2}}}{-2i\sin {\frac{1}{2}}}=\frac{sin {\frac{n}{2}}}{\sin {\frac{1}{2}}}e^{i(n+1)/2}$$

Le module de la somme partielle $S_n$ est donc :
$$\left|S_n\right|=\left|\frac{sin {\frac{n}{2}}}{\sin {\frac{1}{2}}}\right|$$
 Pourtant
 $$\left|S_n\right|\le\left|\frac{1}{\sin {\frac{1}{2}}}\right|$$
puisque $\displaystyle\sin{\frac{n}{2}}\le 1$

La série $\displaystyle\sum a_n=\sum_{n=1}^\infty e^{in}$ accompli la première condition du test de Dirichlet.

La suite $\{b_n\}$ de terme général $b_n=1/n$ est décroissante et la $\displaystyle\lim_{n\to\infty}  b_n=0$ pourtant la deuxième condition de Dirichlet est aussi accomplie et cela nous garantie que la série produit $\displaystyle\sum a_nb_n=\sum_{n=1}^\infty e^{in}\frac{1}{n}$ est convergente. Pourtant sa partie imaginaire, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n}{n}$, est convergente aussi.