Exercice d'intégrales multiples 1

Soit $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|x^2+y^2-2y\ge 0 \wedge x^2+y^2\le 1\}$ calculer:
$$\iint_D\sqrt{x^2+y^2}dxdy$$

1 Détermination de la Région d'intégration D  

Soit $A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|x^2+y^2-2y\ge 0\}$ et Soit $B=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|x^2+y^2\le 1\}$
$A$ est la région extérieur au cercle d'équation cartésienne $x^2+y^2-2y=0$, remarquons que :
$x^2+y^2-2y=0$
$x^2+(y^2-2y+1)-1=0$
$x^2+\left(y-1\right)^2-1=0$
$x^2+\left(y-1\right)^2 =1$ c'est l'équation d'un cercle de rayon $1$ et centre $C(0,1)$
$B$ est la région intérieur au cercle d'équation cartésienne $x^2+y^2=1$


                                 Région $A$

La région $D$ est la intersection des deux régions, $D=A\cap B$, pour cela on superpose les deux régions dans une seule graphique:

La région $D$ est pourtant la région intersection , en vert foncé sur la graphique ci-dessus et isolé sur la graphique ci-dessous, $D=D_1\cup D_2\cup D_3$

 On calcule les points d'intersection des deux cercles, pour cela on résoudre le système :
$x^2+y^2=1$
$x^2+y^2-2y=0\to 1-2y=0\to y=1/2\to x=\pm\sqrt{3}/2$
Les points d'intersection sont $A_1(\sqrt{3}/2,1/2)$ et $A_2(-\sqrt{3}/2,1/2)$

2 Calcule de l'intégral 

La région $D$ peut être partitionnée en trois, lors que $D=D_1\cup D_2\cup D_3$, et cela nous permettre d'écrire l'intégral comme suit:
$$\underset{D}{\iint}f(x,y)dxdy=\underset{D_1}{\iint}f(x,y)dxdy+\underset{D_2}{\iint}f(x,y)dxdy+\underset{D_3}{\iint}f(x,y)dxdy$$

La région a une symétrie circulaire cela nous fait penser à utiliser les coordonnées polaires soit
$x=r\cos\theta$
$y=r\sin\theta$
le déterminant jacobien de cette transformation est $J=\displaystyle\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial\theta}\\\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial r}
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\cos\theta & -r\sin\theta\\\sin\theta & r\cos\theta\end{array}\right|=r$
Pour le changement de variable de l'intégrale double nous avons que:
 $$\underset{D}{\iint}f(x,y)dxdy=\underset{T}{\iint}f(r,\theta)\left|J\right|drd\theta=\underset{T}{\iint}f(r,\theta)rdrd\theta$$
 Dans notre exercice:
$f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta}=\sqrt{r^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)}=\sqrt{r^2}=r$

2.1 Calcule sur la région D1

Donc pour la  région $D_1$ on a:
$$\underset{D_1}{\iint}f(x,y)dxdy=\underset{T_1}{\iint}f(r,\theta)\left|J\right|drd\theta=\underset{T_1}{\iint}f(r,\theta)rdrd\theta=\underset{T_1}{\iint}r\cdot rdrd\theta=\underset{T_1}{\iint}r^2drd\theta$$
Pour établir les limites d'intégration, regardons en détail la région $D_1$

La région $D_1$ est limitée par l'axe $OX$ la circonférence $x^2+y^2-2y=0$ et la circonférence $x^2+y^2=1$
Le rayon vecteur d'un point, en rouge sur l'image ci-dessus, est le vecteur qui quitte l'origine $O$ et arrive au point considéré. La coordonnée polaire $\theta$ est l'angle entre ce rayon vecteur et le axe $OX$ positif. La coordonné polaire $r$ est la distance entre l'origine $O$ et le point considéré, pourtant r est toujours positif.

Tout point intérieur a la région $D_1$ a par coordonné polaire $\theta$  un angle $\theta\in [0,\pi/6]$
$$0\le\theta\le\pi/6$$
Remarquons que pour tout point de $D_1$ passe un rayon comme les rayons désignés en bleu. La parti intérieur à $D_1$ de ces rayons commence dans la circonférence $x^2+y^2-2y=0$ et termine dans la circonférence $x^2+y^2=1$

La distancia $r$ de l'origine $O$ à la circonférence $x^2+y^2-2y=0$ vient donnée par
 $x^2+y^2-2y=0$
$r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta-2r\sin\theta=0$
$r^2(\sin^2\theta+\cos^2\theta)-2r\sin\theta=0$
$r^2-2r\sin\theta=0$
$r-2\sin\theta=0$
$$r=2\sin\theta$$
Pourtant dans la région $D_1$ $r\ge 2\sin\theta$
La distance $r$ de l'origine $O$ à la circonférence $x^2+y^2=1$ vient donnée par
 $x^2+y^2=1$
$r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta=1$
$r^2(\sin^2\theta+\cos^2\theta)=1$
$r^2=1$
$$r=1$$
Pourtant dans la région $D_1$ $r\le 1$
$$2\sin\theta\le r\le 1$$
$$\underset{D_1}{\iint}f(x,y)dxdy=\underset{T_1}{\iint}r^2drd\theta=\int_0^{\pi/6}d\theta\int_{2\sin\theta}^1r^2dr=\frac{1}{3}\int_0^{\pi/6}\left(1-8\sin^3\theta\right)d\theta=$$
$$=\frac{1}{3}\int_0^{\pi/6}d\theta-\frac{8}{3}\int_0^{\pi/6}(1-\cos^2\theta)\sin\theta d\theta=\frac{\pi}{18}-\frac{8}{3}\int_{0}^{\pi/6}\sin\theta d\theta-\frac{8}{3}\int_{0}^{\pi/6}\cos^2\theta (-\sin\theta d\theta)=$$
$$=\frac{\pi}{18}+\frac{8}{3}\left(\cos\frac{\pi}{6}-1\right)-\frac{8}{9}\left(\cos^3\frac{\pi}{6}-1\right)=\frac{\pi}{18}+\frac{4\sqrt{3}}{3}-\frac{8}{3}-\frac{\sqrt 3}{3}+\frac{8}{9}=\frac{\pi}{18}+\sqrt 3-\frac{16}{9}$$

2.2 Calcule sur la Région D2

Pour la région $D_2$ la situation est similaire. Les coordonnées polaires $r$ et $\theta$, de tout point intérieur à $D_2$ satisfont que :
$$\pi-\pi/6\le\theta\le\pi$$
$$2\sin\theta\le r\le 1$$

$$\underset{D_2}{\iint}f(x,y)dxdy=\underset{T_2}{\iint}r^2drd\theta=\int_{\pi-\pi/6}^{\pi}d\theta\int_{2\sin\theta}^1r^2dr=\frac{1}{3}\int_{\pi-\pi/6}^{\pi}\left(1-8\sin^3\theta\right)d\theta=$$
$$=\frac{1}{3}\int_{\pi-\pi/6}^{\pi}d\theta-\frac{8}{3}\int_{\pi-\pi/6}^{\pi}(1-\cos^2\theta)\sin\theta d\theta=\frac{\pi}{18}-\frac{8}{3}\int_{\pi-\pi/6}^{\pi}\sin\theta d\theta-\frac{8}{3}\int_{\pi-\pi/6}^{\pi}\cos^2\theta (-\sin\theta d\theta)=$$
$$=\frac{\pi}{18}+\frac{8}{3}\left(\cos\pi -\cos{\left(\pi-\frac{\pi}{6}\right)}\right)-\frac{8}{9}\left(\cos^3\pi-\cos^3{\left(\pi-\frac{\pi}{6}\right)}\right)$$
$\cos\pi=-1$
$\cos{(\pi-\pi/6)}=-\cos{\pi/6}$
$$\underset{D_2}{\iint}f(x,y)dxdy=\frac{\pi}{18}+\frac{8}{3}\left(-1 +\cos{\frac{\pi}{6}}\right)-\frac{8}{9}\left(-1+\cos^3{\frac{\pi}{6}}\right)=$$
$$=\frac{\pi}{18}+\frac{8}{3}\left(\cos\frac{\pi}{6}-1\right)-\frac{8}{9}\left(\cos^3\frac{\pi}{6}-1\right)=\frac{\pi}{18}+\frac{4\sqrt{3}}{3}-\frac{8}{3}-\frac{\sqrt 3}{3}+\frac{8}{9}=\frac{\pi}{18}+\sqrt 3-\frac{16}{9}$$
remarquons que :

$$\underset{D_2}{\iint}f(x,y)dxdy=\underset{D_1}{\iint}f(x,y)dxdy$$

2.3 Calcule sur la Région D3

La région $D_3$ et une demi-circonférence de rayon $1$. Les coordonnées polaires $r$ et $\theta$, de tout point intérieur à $D_3$ satisfont que :

 $$\pi\le\theta\le 2\pi$$$$0\le r\le 1$$
$$\underset{D_3}{\iint}f(x,y)dxdy=\underset{T_3}{\iint}r^2drd\theta=\int_{\pi}^{2\pi}d\theta\int_0^1r^2dr=\frac{1}{3}\int_{\pi}^{2\pi}d\theta=\frac{\pi}{3}$$

2.4 Résultat

  $$\underset{D}{\iint}f(x,y)dxdy=\underset{D_1}{\iint}f(x,y)dxdy+\underset{D_2}{\iint}f(x,y)dxdy+\underset{D_3}{\iint}f(x,y)dxdy=$$
$$=2\underset{D_1}{\iint}f(x,y)dxdy+\underset{D_3}{\iint}f(x,y)dxdy=$$
$$=2\left(\frac{\pi}{18}+\sqrt 3-\frac{16}{9}\right)+\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{9}+2\sqrt 3-\frac{32}{9}\approx 1.30481$$

3 Interprétation Géométrique 

Ci-dessous la graphique de la fonction $f(x)=\sqrt{x^2+y^2}$, le cône, sur le plane $OXY$, soit le plan $z=0$. En rouge la région $D$ d'intégration.

Ci-dessous la même fonction $f(x)=\sqrt{x^2+y^2}$ restreinte à la région d'intégration $D$

La valeur numérique de l'intégrale calculé, en unités cubiques, est le volume entre la région d'intégration $D$ et le cône $f(x)=\sqrt{x^2+y^2}$.
Ci-dessous les mures imaginaires du solide sont en vert demi-transparente pour que le volume intérieur soit visible.  La capacité de ce solide est de1.30481 unité$^3$