Exercice de séries alternées 1

Étudier la nature de la série
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{ln\left(e^{n}-e^{-n}\right)}$$

On pose
$$\sum _{n=1}^{\infty}a_n= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{ln\left(e^{n}-e^{-n}\right)}$$
$$\sum_{n=1}^{ \infty}a_n=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}b_n$$
où
$$b_n= \frac{1}{ln\left(e^{n}-e^{-n}\right)}$$

Pour que la série donnée soit convergente, il suffit que la suite $\left\{ b_n\right\}$ soit une suite décroissante et que $\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=0$

Soit
$$c_n =\left(e^{n}-e^{-n}\right)=\left(e^{n}-\frac{1}{e^{n}}\right)=\frac{e^{2n}-1}{e^{n}}$$
$$c_{n+1}=\frac{e^{2(n+1)}-1}{e^{n+1}}=\frac{e^{2n+2}-1}{e^{n+1}}$$
$$\frac{c_{n+1}}{c_n}=\frac{\frac{e^{2n+2}-1}{e^{n+1}}}{\frac{e^{2n}-1}{e^{n}}}=\frac{e^{2n+2}-1}{e\left(e^{2n}-1\right)}=\frac{e^{2n+2}-1}{e^{2n+1}-e}>1$$

pourtant
$$\forall n, c_{n+1}>c_n\rightarrow ln\left(c_{n+1}\right)> ln\left(c_n\right)\rightarrow b_{n+1}=\frac{1}{ln\left(c_{n+1}\right)}<\frac{1}{ln\left(c_n\right)}=b_n$$

et la suite $\left\{ b_n\right\}$ est une suite monotone décroissante

$$\lim_{n\to \infty}b_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{ln\left(e^{n}-e^{-n}\right)}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{ln\left(e^n\right)}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$$

Donc selon la règle de Leibniz la série alternée converge.

Si la série de termes positifs  $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left|{a_n}\right|=\sum_n^{\infty}b_n$ converge la série alternée converge absolument et si la série de termes positifs diverge la série alternée est une série semi-convergente.

$$e^{2n}>e^{2n}-1$$
$$ln\left(e^{2n}\right)>ln\left(e^{2n}-1\right)$$
$$2n >ln\left(e^{2n}-1\right)$$
$$n >ln\left(e^{2n}-1\right)-n=ln\left(e^{2n}-1\right)-ln\left(e^n\right)= ln\left(e^{n}-e^{-n}\right)$$
$$n> ln\left(e^{n}-e^{-n}\right)$$
$$\frac{1}{n}< \frac{1}{ln\left(e^{n}-e^{-n}\right)}$$

La série de termes positifs est plus grande terme à terme que la série harmonique pourtant la série de termes positifs diverge et la série alternée est sémi-convergente.