Exercice de Séries 4 : Séries de Fonctions

On considère la série entière :

$$\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{3n}}{(3n)!}$$

1. Déterminer son rayon de convergence. Montrer que $f$ vérifie une équation différentielle linéaire du troisième ordre à coefficients constants.
2. Résoudre l'équation différentielle obtenue.
3. En déduire la somme S de la série $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(3n)!}$

Exercice de séries 3 : Test de Dirichlet

Étudier la nature de la série
$$\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin n}{n}$$

Exercice de series alternées 2

Soit p un entier naturel positif, étudier selon les valeurs de p la nature de la série
$$\sum a_n = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5\ldots\cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\ldots 2n}\right)^p$$

Exercice de séries alternées 1

Étudier la nature de la série
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{ln\left(e^{n}-e^{-n}\right)}$$