Exercice de series alternées 2

Soit p un entier naturel positif, étudier selon les valeurs de p la nature de la série
$$\sum a_n = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5\ldots\cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\ldots 2n}\right)^p$$

On pose
$$b_n = \left(\frac{1\cdot 3\cdot 5\ldots\cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\ldots 2n}\right)^p=\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^p$$
 
Pourtant $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^nb_n$ et $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_n\right|=\sum_{n=1}^{\infty}b_n$

Pour que la série  $\displaystyle\sum a_n$ converge il suffit que la suite $\left\{b_n\right\}$ soit décroissante et que $\displaystyle \lim_{n\to \infty}b_n=0$

Soit $\displaystyle c_n =\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}$, $b_n=(c_n)^p$ si la suite $\left\{c_n\right\}$ est décroissante la suite $\left\{b_n\right\}$ est aussi décroissante puisque $p>0$.


Pour voir si la suite $\left\{c_n\right\}$ est décroissante calculons le quotient $\displaystyle\frac{c_{n+1}}{c_n}$.
$$\displaystyle\frac{c_{n+1}}{c_n}=\frac{\frac{(2n+1)!!}{(2n+2)!!}}{\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}}=\frac{(2n+1)!!}{(2n-1)!!}\frac{(2n)!!}{(2n+2)!!}=\frac{(2n+1)(2n-1)!!}{(2n-1)!!}\frac{(2n)!!}{(2n+2)(2n)!!}=\frac{2n+1}{2n+2}>1$$
Donc $c_{n+1}>c_n$, $\left(c_{n+1}\right)^p>\left(c_n\right)^p$ et $b_{n+1}>b_n$. La suite $\{b_n\}$ est décroissante.

On remarque que, par exemple, pour  $n=3$
$\displaystyle (2n-1)!! =5!!= 5\cdot 3\cdot 1=\frac{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{6\cdot 4\cdot 2}=\frac{6!}{6!!}=\frac{(2n)!}{(2n)!!}$
pour  $n=4$
$\displaystyle (2n-1)!! =7!!= 7\cdot 5\cdot 3\cdot 1=\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{8\cdot 6\cdot 4\cdot 2}=\frac{8!}{8!!}=\frac{(2n)!}{(2n)!!}$
pour  $n=5$
$\displaystyle (2n-1)!! = 9!!=9\cdot 7\cdot 5\cdot 3\cdot 1=\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{10\cdot 8\cdot 6\cdot 4\cdot 2}=\frac{10!}{10!!}=\frac{(2n)!}{(2n)!!}$

En général sa tien que :
$$(2n-1)!!=\frac{(2n)!}{(2n)!!}$$
et aussi :
$$(2n)!! = 2^nn!$$

$$\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^p=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\frac{(2n)!}{(2n)!!}}{(2n)!!}\right)^p=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{(2n)!}{\left[(2n)!!\right]^2}\right)^p=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{(2n)!}{\left(2^n\cdot n!\right)^2}\right)^p$$

En utilisant la formule de Stirling 
$$\lim_{n\to\infty}b_n=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{(2n)!}{\left(2^n\cdot n!\right)^2}\right)^p=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sqrt{4\pi n}\left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}}{\left[2^n\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\right]^2}\right)^p=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2\sqrt{\pi n}\left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}}{2^{2n}(2\pi n)\left(\frac{n}{e}\right)^{2n}}\right)^p=$$
$$\lim_{n\to\infty}b_n=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{\pi n}}\frac{1}{2^{2n}}\left(\frac{\frac{2n}{e}}{\frac{n}{e}}\right)^{2n}\right)^p=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{\pi n}}\frac{1}{2^{2n}}2^{2n}\right)^p=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{\pi n}}\right)^p=0$$

Nous  avons démontré que la suite $\{b_n\}$ est décroissante et que la  $\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=0$ et pourtant en vertu de  la règle de Leibniz   la série alternée $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^nb_n$ converge.

Convergence Absolut ou semi-convergence

La suite  $\{b_n\}$ est asymptotiquement égale à la suite $\displaystyle\{\left(\frac{1}{\sqrt{\pi n}}\right)^p\}$ parce que

$$\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{\left(\frac{1}{\sqrt{\pi n}}\right)^p}=1$$

Les deux séries, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_n\right|=\sum_{n=1}^{\infty}b_n$  et $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{\sqrt{\pi n}}\right)^p$ sont des séries des termes positifs, pourtant les deux ont la même nature.

Donc si $p=1$ ou $p=2$, la série $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_n\right|=\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ a la même nature que $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{\sqrt{\pi n}}$ et que $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{\pi n}$ respectivement. ces deux séries sont divergentes, pourtant pour $p=1$ et $p=2$ la série $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_n\right|=\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ diverges et la série alternée, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^nb_n$, semi-converge.

Pour $p>2$ la série $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{\sqrt{\pi n}}\right)^p$ converge, pourtant la série $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_n\right|=\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ converge aussi et la série alternée, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^nb_n$, converge absolument.