Exercice d'équations différentielles 1

Résoudre l'équation différentielle suivante :

$xy'-y^2+(2x+1)y=x^2+2x$ avec $\displaystyle\int_1^2(x-y)^2dx=1$

1. Solution Générale  

L’intégral donné nous suggère de chercher le terme $\displaystyle\left(x-y\right)^2$ pour cela :

$xy'-y^2+(2x+1)y=x^2+2x$

$xy'-y^2+2xy+y=x^2+2x$

$xy'+y-y^2+2xy-x^2=2x$

$xy'+y-(x^2-2xy+y^2)=2x$

$xy'+y-(x-y)^2=2x$

Essayons avec le changement de variable suivante :

$z=x-y$

$y=x-z$

$y'=1-z'$

$xy'+y-(x-y)^2=2x$

$x-xz'+x-z-z^2=2x$

$2x-xz'-z-z^2=2x$

$xz'=-z-z^2=-(z+z^2)=-z(z+1)$

$\displaystyle\frac{-z'}{z(z+1)}=\frac{1}{x}$

$\displaystyle\frac{z'}{z+1}-\frac{z'}{z}=\frac{1}{x}$

$\displaystyle z'\left(\frac{1}{z+1}-\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{x}$

$\displaystyle \frac{dz}{dx}\left(\frac{1}{z+1}-\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{x}$

$\displaystyle\frac{dz}{z+1}-\frac{dz}{z}=\frac{dx}{x}$

 $\displaystyle\int\frac{dz}{z+1}-\int\frac{dz}{z}=\int\frac{dx}{x}$

$\ln{(z+1)}-\ln z=\ln x+C$

$\displaystyle\ln\frac{z+1}{z}=\ln{x}+C$

$\displaystyle e^{\ln{\left(z/z+1\right)}}=e^{\ln{x}+C}$

$\displaystyle\frac{z+1}{z}=e^Cx$

Soit $K=e^C$

$\displaystyle\frac{z+1}{z}=Kx$

$z+1=Kxz$

$z-Kxz=-1$

$\displaystyle z=\frac{-1}{1-Kx}=x-y$

$\displaystyle y=x+\frac{1}{1-Kx}$

$\displaystyle y=x+\frac{1}{1-Kx}$ est la solution générale de l'équation différentielle.

2. Vérification

$\displaystyle y=x+\frac{1}{1-Kx}$ est la solution générale de l'équation différentielle $xy'-y^2+(2x+1)y=x^2+2x$.

$y'=\displaystyle 1 + \frac{K}{(1-K x)^2}$

$\displaystyle xy'-y^2+(2x+1)y=x \left(\frac{K}{(1-K x)^2}+1\right)-\left(\frac{1}{1-K x}+x\right)^2+(2 x+1) \left(\frac{1}{1-K x}+x\right)=$

$=\displaystyle\frac{Kx}{(1-K x)^2}+x-\frac{1}{(1-K x)^2}-\frac{2x}{1-K x}-x^2+\frac{2x}{1-K x}+2x^2+\frac{1}{1-K x}+x=$

$=\displaystyle x^2+2x+\frac{Kx}{(1-K x)^2}-\frac{1}{(1-K x)^2}+\frac{1}{1-K x}=x^2+2x+\frac{Kx-1+1-Kx}{(1-Kx)^2}=x^2+2x$

3. Détermination de la constante K 

La valeur de la constante $K$ sera établit pour que la condition intégrale $\displaystyle\int_1^2(x-y)^2dx=1$ soit satisfaite.

$\displaystyle\int_1^2(x-y)^2dx=\int_1^2z^2dx=\int_1^2\left(\frac{-1}{1-Kx}\right)^2dx=\int_1^2\frac{1}{(1-Kx)^2}dx=1$ 

$\displaystyle\int_1^2(1-Kx)^{-2}dx=-\frac{1}{K}\int_1^2(1-Kx)^{-2}\left(-Kdx\right)=-\frac{1}{K}\int_1^2(1-Kx)^{-2}d(1-Kx)=1$

 $\displaystyle\frac{1}{K}\left[\frac{1}{1-Kx}\right]_1^2=1$

 $\displaystyle\frac{1}{K}\left[\frac{1}{1-2K}-\frac{1}{1-K}\right]=1$

 $\displaystyle\frac{K}{(1-K)(1-2K)}=K$

$(1-2K)(1-K)=1$

$2K^2-3K+1=1$

$K(2K-3)=0$

$K=0$ et $K=\displaystyle\frac{3}{2}$

SI $K=0\to\displaystyle y=x+\frac{1}{1-Kx}=x+1$

SI $K=\frac{3}{2}\to\displaystyle y=x+\frac{1}{1-Kx}=x+\frac{2}{2-3x}$

3. Résultat

Les deux fonctions trouvées sont des solutions :

$\displaystyle y=x+1$

$\displaystyle y=x+\frac{2}{2-3x}$