Exercice de Séries 4 : Séries de Fonctions

On considère la série entière :

$$\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{3n}}{(3n)!}$$

1. Déterminer son rayon de convergence. Montrer que $f$ vérifie une équation différentielle linéaire du troisième ordre à coefficients constants.
2. Résoudre l'équation différentielle obtenue.
3. En déduire la somme S de la série $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(3n)!}$

1. Déterminer son rayon de convergence. Montrer que $f$ vérifie une équation différentielle linéaire du troisième ordre à coefficients constants.

Soit $\displaystyle a_n=(-1)^n\frac{x^{3n}}{(3n)!}$, $\displaystyle\left|a_n\right|=\left|\frac{x^{3n}}{(3n)!}\right|$, pour déterminer le rayon de convergence , nous appliquons le critère du quotient de D'Alambert:

$$L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1$$
$\displaystyle\left|a_{n+1}\right|=\left|\frac{x^{3n+3}}{(3n+3)!}\right|$
$$\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\left|\frac{\frac{x^{3n+3}}{(3n+3)!}}{\frac{x^{3n}}{(3n)!}}\right|=\left|\frac{x^{3n+3}(3n)!}{x^{3n}(3n+3)!}\right|=\left|\frac{x^{3}(3n)!}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!}\right|=\left|\frac{x^{3}}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}\right|$$

$\forall x\in\mathbb{R}$
$$L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{x^{3}}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}\right|=0<1$$

La sérié converge en tout $\mathbb{R}$, c'est-à-dire, le rayon de converge est infinie.

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$\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{3n}}{(3n)!}=1-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^6}{6!}-\frac{x^9}{9!}+\ldots$
$\displaystyle f'(x)=\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{x^{(3n-1)}}{(3n-1)!}=-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^8}{8!}+\ldots$
$\displaystyle f''(x)=\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{x^{3n-2}}{(3n-2)!}=-\frac{x}{1!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots$
$\displaystyle f'''(x)=\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{x^{3n-3}}{(3n-3)!}=-1+\frac{x^3}{3!}-\frac{x^6}{6!}-+\ldots=-f(x)$
soit $m=n-1$ para $n=1\to m=0$ En changent $n$ par $m$ en $f''''$:
$\displaystyle f'''(x)=\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{x^{3n-3}}{(3n-3)!}=\sum_{m=0}^\infty(-1)^{m+1}\frac{x^{3m}}{(3m)!}=\sum_{m=0}^\infty(-1)(-1)^{m}\frac{x^{3m}}{(3m)!}=-\sum_{m=0}^\infty(-1)^{m}\frac{x^{3m}}{(3m)!}=-f(x)$

Pourtant la fonction $f$ est une solution de l'équation différentielle:
$$y'''+y=0$$

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2. Résoudre l'équation différentielle obtenue.
L'équation caractéristique de l'équation différentielle est
$$r^3+1=0$$
$$r^3=-1$$
Les racines de $-1$ sont:
$\displaystyle r_0=e^{i\pi/3}=1/2+i\sqrt{3}/2$
$\displaystyle r_1=e^{i\pi}=-1$
$\displaystyle r_2=e^{i5\pi/3}=1/2-i\sqrt{3}/2$

Les deux racines complexes conjuguées nous donne une fonction solution $\displaystyle y_1=Ae^{x/2}\sin{(\frac {\sqrt 3}{2}x)}+Be^{x/2}\cos{(\frac{\sqrt 3}{2}x)}$
La racine réelle nous donne une fonction solution $\displaystyle y_2=Ce^{-x}$

La solution de l'équation différentielle est
$$y=Ae^{x/2}\sin{(\frac {\sqrt 3}{2}x)}+Be^{x/2}\cos{(\frac{\sqrt 3}{2}x)}+Ce^{-x}$$

3.En déduire la somme S de la série $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(3n)!}$

La somme S demandée est la valeur de la fonction $f$ pour $x=1$, donc il s'agit de trouver la valeur numérique de $f(1)$

$f(x)$ est une des solutions de l'équation différentielle $y'''+y=0$ pourtant il existent certains $A$,$B$,$C$ pour lesquelles
$$f(x) =Ae^{x/2}\sin{(\frac {\sqrt 3}{2}x)}+Be^{x/2}\cos{(\frac{\sqrt 3}{2}x)}+Ce^{-x}$$

Pour trouver les valeurs de $A$,$B$,$C$ il faut avoir trois conditions et comme ça avoir un système linéaire de trois équations et trois inconnus. Pour cela nous remarquons que la série $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{3n}}{(3n)!}$ est le développement limité de la fonction $f(x)$ au tour de $x=0$, et que pour le théorème d'unicité les coefficients $\displaystyle a_n=(-1)^n\frac{x^{3n}}{(3n)!}$ sont uniques, le développement limité de la fonction vient donné par:
$c_n=\displaystyle\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$
$\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^\infty c_nx^n=c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3+\ldots$
$\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{3n}}{(3n)!}=1-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^6}{6!}-\frac{x^9}{9!}+\ldots=1+0x+0x^2-\frac{x^3}{3!}+0x^4+0x^5+\frac{x^6}{6!}+\ldots$

$\displaystyle c_0=\frac{f(0)}{0!}=1\to f(0)=1$
$\displaystyle c_1=\frac{f'(0)}{1!}=0\to f'(0)=0$
$\displaystyle c_2=\frac{f''(0)}{2!}=0\to f''(0)=0$
$$f(x) =e^{x/2}(A\sin{(\frac {\sqrt 3}{2}x)}+B\cos{(\frac{\sqrt 3}{2}x)})+Ce^{-x}$$
$$f'(x)=\frac{1}{2} e^{-x} \left(e^{\frac{3 x}{2}} \left(A-\sqrt{3} B\right) \sin \left(\frac{\sqrt{3} x}{2}\right)+e^{\frac{3 x}{2}} \left(\sqrt{3} A+B\right) \cos \left(\frac{\sqrt{3} x}{2}\right)-2 C\right)$$
$$f''(x)=\frac{1}{2} e^{-x} \left(-e^{\frac{3 x}{2}} \left(A+\sqrt{3} B\right) \sin \left(\frac{\sqrt{3} x}{2}\right)+e^{\frac{3 x}{2}} \left(\sqrt{3} A-B\right) \cos \left(\frac{\sqrt{3} x}{2}\right)+2 C\right)$$

$\displaystyle f(0)=B+C=1$
$\displaystyle f'(0)=\frac{\sqrt{3} A}{2}+\frac{B}{2}-C=0$
$\displaystyle f''(0)=\frac{\sqrt{3} A}{2}-\frac{B}{2}+C=0$
La solution est :
$A=0$, $B=\displaystyle\frac{2}{3}$ et  $C=\displaystyle\frac{1}{3}$

Pourtant
$$f(x)=\frac{1}{3} e^{-x}+2 e^{x/2} \cos \left(\frac{\sqrt{3} x}{2}\right)$$
$$f(x)=\frac{1}{3} e^{-x} \left(2 e^{3x/2} \cos \left(\frac{\sqrt{3} x}{2}\right)+1\right)$$

Et la somme S de la série $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(3n)!}$
$$S=f(1)=\frac{1+2 e^{3/2} \cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}{3 e}\approx 0.834719$$